买彩票真能实现财务自由吗?

2018-11-06 00:39

最近,美国的Mega Millions的头奖金额在10月23日的开奖日期前累积达到了史上最高:16亿美金!各路人士纷纷前往彩票点购买彩票,不少人也在社交媒体上晒买的彩票相片。最后,一位来自南卡罗莱纳州的超级锦鲤,选中了全部的6个数字。并且,TA是此次投彩人群中唯一一位6数全中的人,于是一人抱走了16亿美金的大奖。

买彩票可谓是一项全民娱乐的活动。一般来说,总有一群在积极地为博彩事业添砖加瓦,他们想着一夜致富,实现财务自由,走向人生巅峰。每隔一段时间,一些博彩会突然因为彩池的增长而挤上头条,吸引着越来越多的投机者,于是彩池进一步增大,头奖也积累得越来越高,一些平时不会买彩票的人也会跟个风。这风一跟,彩池就越来越大,真是个良性循环!这次的Mega Millions正是如此。我从来不买彩票,却也依稀记得2016年初,美国的博彩Powerball Game的头奖金额高达15亿美金,当时广大群众的反应也如对现在的Mega Millions一般……

然而身为一名统计学教授,每每到了这种时刻,总是理智地看着周围人的疯狂。之所以记得2016年的Powerball Game,是因为当时我刚好教完一班本科生的概率课,正直寒假,但也挑灯夜战给班里的孩子们写了一封邮件,给他们计算了一下买彩票的期望回报,并指出买彩票从来都是亏本生意。后来我惊讶的发现,一个妹子看了我的邮件之后,反而跑去多买了五注……所以啊,人的投机心理不可小觑!

那么Mega Millions是否值得买呢?这就需要我们先来了解一下Mega Millions的玩法。最基本的规则,就是你花2美金,选6个数字。这6个数字的其中5个数字,你可以从1到70的整数之间任选5个(下图的上部白色区域);第6个数字,你可以从1到25中任选1个(下图的下部蓝色区域)

最终开奖也是按这样的抽法(1到70选5, 1到25选1)。若是能6个全中,你就能获得头奖,头奖的金额预先并没有设定好:若是多次开奖,头奖都没被赢走,那就意味着下次的头奖会积累得更大。

除了头奖之外,其他奖项的金额都是预先设定好的:比如头5个全中最后1个没中(即“5+0”),你能获得100万美金;头5个中4个最后1个中(即“4+1”),你能获得10万美金;头5个中4个最后1个没中(即“4+0”),你能获得500美金,等等(详情可见下图)。最低的奖金是头5个没中最后1个中,你可以获得2美金, 即你每买一张彩票的成本。当然,最糟糕的情况是一个6个都没中,那这买彩票的2美金就白花了。

从奖金的数量上来看,很明显,“5+0”比“4+1”更值钱(100万美金vs1万美金),因为发生“5+0”的概率比发生 “4+1”的概率更低。为什么同样都是6个里中5个,概率会有如此差别?瞧,奖金可是有着100倍的差距呢!那么发生“4+1”的概率真的比发生“5+0”的概率高100倍吗?

其实算出每种情况的概率并不难。高中数学课教过“排列组合”的概念,这里需要的是“组合”。举个例子:假设你要从1到5选出3个数,有多少种不同的选法?用最基本的枚举法,我们就可以列出所有的可能性:

枚举法告诉我们有10种不同的选法。但如果使用“组合”的概念和公式,我们能更快得到正确答案。组合计算的是不同选法的数量,例如在5个数中任选3个数,就是“5选3”,可以在高括号里上面写5、下面写3,比如这样:

具体的算法,则需要用到阶乘的概念。“n的阶乘”,写成“n!”,整数n后面跟一个感叹号,代表将n个不同的物品排成一排的排列方法的数量,算法公式是:

即n!等于从整数n开始逐一递减至1,并将所有的整数乘起来。举个例子,如果你想看看有多少种方法排列1到3,答案是3!,可以理解为第一个位置有3种可能,第二个位置有2种可能(因为第一个位置已经放好了一个数字),第三个位置只有1种可能,于是排列方法总数为 3×2×1 = 6 = 3!。


然而,如果问题是如何从1到3选3个数,即“3选3”,这就从排列问题变成了组合问题。组合和排列的区别在于:排列考虑顺序,而组合不考虑。所以如果要将1到3排起来,顺序有意义,答案是3!;但如果只是要将1到3组合起来,顺序没有意义,我们应该将顺序除去,答案是3!÷3!,除号就是不考虑顺序的算法。


之前的5个数任选3个数的组合问题,等同于先将5个数排成一排,然后将排好的5个数分成两组:第一组3个数,第二组2个数。一旦分好组,第一组的3个数有3!种排法,第二组的2个数有2!种排法。因为组合不考虑顺序,我们需要除去3!和(5-3)!,于是就有了下面的公式,最终也得出10种选法,与枚举法的结果相同。

若是有个简单的彩票游戏,规则就是5个数里选3个,全选对了就中奖,那你买中一张彩票的概率就是1/10,因为“5选3”有10种选法,而且每种选法的可能性一样大。

讲到这,你可能已经发现这个“5选3”和Mega Millions的玩法很类似。只是在Mega Millions中,头5个数字要从1到70当中选,就是“70选5”,也就是一共12103014种不同的选法。而最后1个数字从1到25当中选,那么就是“25选1”,也就是25种不同的选法。

回到“5+0”的概率与“4+1”的概率相比较的问题。“5+0”有两部分。第一部分是70选5的时候5个全中,即最后开奖的5个数与你选的完全吻合,也意味着开奖没选的65个数你一个都没选。这一部分的概率为:

第二部分是25选1的时候没中,即最后开奖的1个数你没选,也意味着开奖没选的24个数你选了一个。这一部分的概率为:

最后,这两部分共同决定你得到“5+0”的概率,我们要把这两部分乘起来,得到:

这表示得到“5+0”的概率接近0.00000008。而用同样的计算方式得出,买中“4+1”的概率大约为0.000001,是“5+0”概率的大约13.5倍,与100倍的奖金差相差甚远……不知是“5+0”的奖金被好心地提高了,还是“4+1”的奖金被故意降低了。

然后我们来看看买Mega Millions是否是好的投资。这里需要引入一个期望回报的概念,即奖金乘以概率,如下表所示:

因为头奖金额一般未知,所以先考虑其他已知奖金的期望回报,总和是0.2286273,即你每花2美金买一张彩票,你的期望回报是0.23美金,赔本生意!不过,当Mega Millions的头奖涨到16亿美金的10月23日,你的总期望回报可以达到5.516566,相当可观!只可惜,你能中到头奖的概率微乎其微:大约0.000000003,即每3亿张中一张。而且,若是有多人选中,你还需要和别人平分……不仅如此,中奖者最后可是需要交纳高额的税金哒!所以彩票最终富的是政府财政啊


最后,我们来介绍一下计算不同中奖类别的概率所服从的概率分布,即超几何分布。比如总共有N个球,其中K个为红色,(N-K)个位蓝色,现在任意抽取n个球,其中有k个红球的概率就服从超几何分布,其概率质量函数为:

是不是看起来很眼熟呢!再回头看看一次头5个全中的概率:

统计学版惊悚片告诉我们:小赌怡情,但请不要妄想能靠彩票发大财,还是脚踏实地赚钱养家比较靠谱啊。


撰文:璟子

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